Философия в систематическом изложении (сборник) - Коллектив авторов - Страница 42

Как известно, в понятиях, а стало быть, и в законах природы различают между содержанием и объемом:; существует правило, что с ростом содержания обыкновенно уменьшается объем и наоборот. Под содержанием следует понимать совокупность различных сторон, свойств, признаков и т. п., связь которых составляет понятие; под объемом разумеют совокупность отдельных предметов, входящих в понятие, т. е. обладающих теми признаками. Таким образом, становится понятным вышеприведенное правило: чем больше различного высказываешь о каком-нибудь предмете, тем меньше найдется случаев, когда все совпадает. Если представить себе понятие в виде поверхности прямоугольника, высота которого измеряется содержанием, а ширина объемом понятия, то все такие области понятий будут прежде всего иметь приблизительно одинаковую поверхность, ибо поскольку оно становится выше, постольку оно становится и уже.

Задача науки состоит в том, чтобы увеличивать поверхность подобных прямоугольников понятий за пределы обычного, т. е. по возможности одновременно увеличивать и содержание и объем. Так, например, химией было установлено понятие «элемент», когда была известна всего лишь пара дюжин материй, к которым подходило содержание этого понятия. С течением времени они разрослись до слишком шести дюжин, объем понятия увеличился, стало быть, втрое. Но вместе с тем значительно расширилось и содержание понятия, так как, кроме в свое время известных общих свойств элементов, были открыты еще многие другие свойства, также присущие всем элементам и потому увеличивающие содержание понятия. Всякое подобное увеличение находит себе выражение в соответственном законе природы.

Всякое такое открытие или формулировка увеличения содержания или объема (или обоих) сопровождается новым фактором неуверенности. Исследователь принужден ограничиваться доказательством, что, например, вновь открытый им элемент обладает некоторыми признаками, содержащимися в понятии «элемент», и допускает, что и остальные признаки окажутся налицо, если будет произведено соответственное исследование. Точно так же, открыв на некоторых элементах какое-нибудь новое своеобразие, он припишет его и всем другим, им еще не исследованным, элементам. И только после того, как будут сделаны необходимые исследования, выяснится, было ли обобщение правильно или ложно. Отсюда следует, что естествоведению приходится постоянно оперировать большим количеством допущений, доказательство которых еще не дано и действительность которых допускается по аналогии. Поэтому, если естествоиспытатель делает какое-нибудь новое открытие, противоречащее тому, что наукой считается обязательным, он прежде всего должен просмотреть допущения, которыми он пользовался при работе, и проверить их правильность, если это не сделано им предварительно.

Очевидно, что между прочностью данного основания аналогий и высотой возводимого на нем здания из заключений нельзя предписать никакого определенного соотношения хотя бы уже потому, что это величины неизмеримые. Но во многих случаях сделанное заключение может быть проверено на опыте, откуда в случае подтверждения заключения опытом, т. е. когда было возможно и подтвердилось какое-нибудь предвидение на основании на пробу высказанного закона природы, выводится правильность метода. Отсюда получается строго научный метод в том смысле, что упомянутые заключения по аналогии сообщаются лишь постольку, поскольку они могут быть проверены на опыте. Подобная наука тоже не была бы, правда, свободна от ошибок, но их возможность была бы сведена к малым размерам. Подобная наука не оставила бы места шаткой части натурфилософии, но зато, добившись значительных общих результатов, она предоставила бы натурфилософии материал величайшей ценности.

Из всех наук математика больше всего соответствует этому идеалу, и поэтому она вместе с неотделившейся еще тогда от нее геометрией уже в древности считалась истинным преддверием философии. Нам придется, следовательно, посмотреть, на чем покоится эта особенная ценность, причем мы должны будем, в противоположность современному пониманию, оправдать употребление математических обобщений в целях натурфилософии, ибо причисление математики к естественным наукам часто отрицается и довольно видными представителями науки.

Еще Кант считал математические положения синтетическими à priori и вопрос о возможности их сделал основным вопросом всей своей философии мышления. Его понимание зиждилось на том, что математическим положениям он приписывал априористическую, т. е. непосредственную, очевидность, так что их противоположность совершенно немыслима. И действительно, это трудно отрицать относительно математических положений, вошедших в обиход ежедневного употребления, так как сильно затруднено исследование соответствующих духовных функций. Ибо при слишком частом повторении какого-нибудь процесса последний обыкновенно спускается из области сознательного в бессознательное (как мы то ежедневно можем наблюдать при изучении какого-нибудь фокуса), и это обстоятельство в высокой степени затрудняет его исследование. Но стоит нам спросить себя относительно более сложных математических законов (в частности, относительно законов из теории о числах), даны ли они нам a priori, как мы должны сознаться, что без соответственного исследования нам не известно даже, правильны ли они или нет; в этом отношении они ничем не отличаются от законов физики или химии, опытный характер которых стоит вне всякого сомнения.

Таким образом, мы и законы математики, этой наиболее точной из всех наук, должны признать такими же абстракциями опыта, как и положения, образуемые путем абстракции в других областях опыта. Кант верно понял это, когда заявил, что, например, 7 + 5 = 12 – не аналитическое положение, не умножающее наше познание, а синтетическое. Оно означает следующее. При помощи перечисления получаем сначала многообразие 7, затем – также многообразие 5. Если мы вторую операцию проделаем над тем же многообразием, но непосредственно после первой операции, то полученный результат будет тождествен с получаемым после операции счета до 12. Что это положение содержит нечто новое, следует из того, что оно высказывает нечто о процессе сложения двух считанных многообразий, который не содержится в простой операции счета, сколько ни продолжать счет. Но, что результат не априорен, следует из того, что при более крупных числах мы должны установить это при помощи подсчета и на готовом счете не можем непосредственно заметить, правилен ли он или нет.

Попутно было против этого выставлено то соображение, что мы не можем представить себе ложного математического положения. Но когда я говорю 17 × 35 = 585, то я отлично могу себе это представить, хотя это и неверно, ибо ошибку я устанавливаю только при проверке. В положении 5 × 7 = 45 я нахожу ошибку, не прибегая к помощи исследования, потому что я знаю правильное положение наизусть, но я его так же могу мыслить, как и положение: бромистые соли дают красную окраску пламени. На самом деле они дают зеленую окраску, но только химик скажет, что это, само собою разумеется, неверно. Само по себе это положение так легко может быть себе представлено, что неопытный человек должен предварительно подумать, верно ли оно или нет.

Доказав эмпирический характер математических положений, мы должны еще остановиться на часто выставляемом возражении, что математика уже потому наука неэмпирическая, что предполагаемые ею вещи в опыте не существуют. Особенно часто это соображение выставляется применительно к геометрии. Не существует-де ни геометрической точки, ни геометрической прямой или плоскости, ибо все действительные точки, прямые и плоскости безнадежно отступают от идеальных, рассматриваемых геометрией.

Все это совершенно верно, но беда в том, что так обстоит дело во всех науках, ибо во всех случаях речь идет о результатах общего метода отвлечения. Пользуясь им, мы умышленно отказываемся учитывать фактически существующие свойства и рассматриваем объект не так, как он есть, а так, каким он был бы, если б этих свойств не было. Чем общёе какая-нибудь наука, тем больше свойств отпадает при методе отвлечения; поэтому-то их и остается так мало в математике, этой наиболее общей из всех наук. Когда физик указывает плотность какого-нибудь тела, то он при этом формально исходит из предпосылки, что его тело совершенно однородно, т. е. что его плотность в исследуемом куске везде совершенно одинакова. Слишком хорошо известно, что подобная предпосылка никогда не бывает строго верна. Но определенная физиком плотность относится к недействительному, идеально однородному телу точно так же, как положения геометрии относятся к идеально ровным плоскостям. По существу своему значение нашего исследования можно резюмировать так: в той же мере, в какой действительный объект приближается к идеальному, положение, высказанное об идеальном объекте, относится к объекту действительному.