Новая философская энциклопедия. Том первый. А - Д. - Коллектив авторов - Страница 60

102

АНАЛОГИЯ Fs:{S,F{AvB)} {S, FA, FB} T^AS,UAz>B)} Ib:{S,F{Az>B)} T-,: {S, T^A} '{S, FA), {S, ТВ] {S, TA, FB} {S, FA} F-,: {S, F-Л} {S, TA} ; 2) для интуиционистской пропозициональной логики те же, кроме 7Ь, Fb, Г-п, F-i, которые заменяются на: 7Ь:{? Т\А^В)} Fd:{S,F(A^B)} {S, 7\Az>B), FA}, {S, 7\Az>B), TB} {Sr TA, FB} 7Ц: {5, Г^А} F^: {S, F-Л} {S,T^A,FA} {SpTA} , где ST - результат исключения из S всех формул вида FB. 3) для 54 - те же, что в 1) с добавлением TU : {S, TuA) /fa: {S, FoA] {S, TuA, TA} {SD,FA} , где S0 - результат исключения из S всех формул, не имеющих вида Т в В. 4) для классической и интуиционистской логики предикатов те же, что в 1) и 2) соответственно, с добавлением: W.{S,T\/xA(x)} /У: {S, FVxAjx)} 73: {S, T3xA(x)} {S, 7Vx4(x), TA(a)} {S, FA{b)} {S, TA(b)} F3: {S, F3xA(x)} {S, F3xA(x), FA(a)}, где а - основная произвольная предметная постоянная константа, b — вспомогательная постоянная, каждый раз новая (не встречавшаяся в исходном множестве), А(а) (А(Ь)) - результат их подстановки вместо х в формулу А(х). ^-множество называется замкнутым, если и только если в нем имеются ТВ и FB для какой-нибудь формулы В языка соответствующей системы. Г/'-множество называется исчерпанным, если и только если оно замкнуто или никакое применение правил к нему не приводит к новой конфигурации. Т. о., аналитической таблицей некоторой формулы А называется непустая конечная последовательность конфигураций, первая из которых есть {{FA }}, а каждая из последующих конфигураций получается из предыдущей по одному из правил. Аналитическая таблица называется завершенной, если и только если каждое Г/'-множество ее последней конфигурации является исчерпанным. Неразрешимость исчисления предикатов относительно проблемы общезначимости и доказуемости равносильна неразрешимости вопроса о существовании завершенной аналитической таблицы для произвольной формулы ее языка. Таблица является замкнутой, если и только если каждое TF-множество ее последней конфигурации является замкнутым. Формула А языка любой из рассматриваемых систем общезначима ( для классической пропозициональной логики — тождественно-истинна), если и только если для нее существует замкнутая таблица. (Последнее оказывается существенным при построении аналитических таблиц для формул интуиционистской и модальной логики, т. к. варьирование порядка применения правил может привести к построению различных таблиц для одной и той же формулы.) Для классической логики завершенная незамкнутая таблица указывает возможные элементарные условия ее ложности (опровергающие примеры). Ими являются незамкнуты исчерпанные множества последней конфигурации. Примеры: 1) Формула ((D/7 V uq) z) ?(/? V q)) системы S4 общезначима, поскольку для нее существует замкнутая аналитическая таблица: l.{{F((npvnq)z>n{pvq))}}; 2.{{T\npvnq),FD{pvq)}}; 3. {{1Ър, FU(p v ф), {Tuq, Fu(p v q)}}; 4. {{7U/?, F(pwq)}? Tuq, F(pvq)}}; 5. {{Tnp, Fp, Fq}, {Tuq, Fp, Fq}}\ 6. {{Tnp, Tp, Fp, Fq},{Tuq, Tq, Fp, Fq}}. 2) Аналитическая таблица для формулы интуиционистской логикир v -п/>: 1. {{F(pv^p)}}; 2. {{Fp, F^p}}; 3. {{Тр}} не является замкнутой, и невозможно изменением порядка применения правил получить другую таблицу этой формулы, следовательно, данная формула не является законом интуиционистской логики. Для классической логики имеется непосредственная связь между способом построения А.т. для некоторой формулы и доказательством ее в некотором секвенциальном исчислении (см. Исчисление секвенций), получаемом переформулировкой правил построения таблицы. Аналитическая таблица классической формулы А в виде дерева (множества столбцов) также может быть получена перестройкой ее таблицы, представленной в виде последовательности конфигураций. Возможность применения метода аналитических таблиц для решения задач как семантического (теоретико-модельного), так и формально-дедуктивного (теоретико-доказательственного) характера позволяет выявить гносеологически весьма важное обстоятельство, состоящее в том, что основу дедукции составляют некоторые отношения содержательно-семантического характера. Очевидны также широкие эвристические возможности этого метода для поиска и построения выводов и доказательств. Лит.: Fitting M. С. Intuitionistic Logic Model Theory and Forcing, Amst.-L., 1969; Кангер. С. Упрощенный метод доказательства для элементарной логики. - В кн.: Математическая теория вывода. М., 1967. Костюк В. Н. Логика. Киев-Одесса, 1975; Смирнова Е. Д Упрощение бетовско- хинтикковского доказательства полноты исчисления предикатов первого порядка. - В кн.: VII Всесоюзный симпозиум по логике и методологии науки. Тезисы. Киев, 1976. Е.К.Войшвилло

АНАЛОГИЯ(греч. ovaXoyia — соразмерность, пропорция) — отношение сходства между объектами; рассуждение по аналогии - вывод о свойствах одного объекта по его сходству с другими объектами. Общие схемы рассуждений по аналогии: объект a обладает свойствами АпА2,..., Ап, А^\ объект ? обладает АГА^,...,А; " (I) вероятно, что ? обладает свойством Ап+Х объекты а, ар а2,... ап обладают свойством А, вероятно, что an+1 обладает свойством А. Идея «переноса» свойств с одного объекта на другой восходит к античности. Термин «аналогия» использовался

103

АНАЛОГИЯ пифагорейцами. Аристотель упоминает о доказательстве посредством примера (л:араО?1уца) как о риторическом приеме, соединяющем индукцию с силлогизмом; свойства одного объекта переносятся на другой посредством образования общего вероятностного суждения, охватывающего оба объекта; выводное суждение не достоверно, а лишь вероятно. Иное значение аналогии придавал Лейбниц, видя в ней не формальный модус вероятностного умозаключения, но универсальный метод научного и философского познания, вытекающий из принципа «тождества неразличимых»: объекты могут считаться относительно тождественными, если различие между ними «исчезающее мало», т.е. становится меньше любой наперед заданной величины. Такие объекты могут заменять друг друга во всех контекстах «с сохранением истинности». Поэтому установление аналогии является общим условием всякого научного и философского доказательства: универсальные истины, получаемые в таких доказательствах, относятся к идеальным конструктам, выступающим как аналоги реальных объектов. Метод аналогии многоступенчат; в теоретических системах используются аналогии с ранее построенными идеальными конструктами. Онтологическим обоснованием метода аналогии в философии Лейбница выступает принцип «оптимальности»: мир управляется минимально простой системой законов и вместе с тем содержит максимум объектного разнообразия. Поэтому рационально объяснение сходных явлений одинаковыми причинами. Но задача исследователя заключается в установлении максимального сходства, вплоть до «тождества неразличимых». Т. о., аналогия, по Лейбницу, играет двоякую методологическую роль: как мощный эвристический источник идеальных конструктов и как стимул к их эвристическому совершенствованию. Историческое развитие представлений об аналогии заключает в себе сложное взаимодействие логических (аристотелевских) и логико-методологических (лейбницевских) идей. В оценке аналогии преломлялись гносеологические и методологические принципы различных философских доктрин. Так, Гегель называл аналогию «инстинктом разума», схватывающим основание эмпирических определений во внутренней природе объектов, а Милль, низко оценивая аналогию как разновидность индукции и способ достижения достоверных результатов, видел ее ценность преимущественно в эвристическом приеме продуцирования гипотез, стимулирующего эмпирическое исследование. За общими схемами рассуждения по аналогии стоит целый спектр различных форм умозаключения, которые могут быть расположены в порядке возрастания степени достоверности вывода (простая, распространенная, строгая или полная, изоморфных объектов и пр.). К числу условий, повышающих вероятность вывода по аналогии, относят: а) максимальность числа и разнородности сравниваемых свойств или объектов (широта аналогии); б) существенность сравниваемых свойств (глубина аналогии); в) производность переносимого свойства от общих сравниваемых свойств; г) отсутствие у объекта выводного суждения свойств, заведомо исключающих переносимое свойство, и др. Однако соблюдение подобных условий не гарантирует полную достоверность умозаключения по аналогии. В ряде современных работ (А. И. Уемов и др.) вывод по аналогии рассматривается как вывод от модели к оригиналу. Предмет (или класс предметов), являющийся непосредственным объектом исследования, называется моделью, а предмет, на который переносится информация, полученная на модели, - оригиналом или прототипом. В тех случаях, когда пользуются моделями, построенными с применением теории подобия (Ж. Бертран, М. В, Кирпичников), выводы по аналогии обладают полной достоверностью. История науки дает множество примеров использования аналогии. Так, важную роль в становлении классической механики играла аналогия между движениями брошенного тела и движением небесных тел; аналогия между геометрическими и алгебраическими объектами реализована Декартом в аналогической геометрии; аналогия селективной работы в скотоводстве использовалась Дарвином в его теории естественного отбора; аналогия между световыми, электрическими и магнитными явлениями оказалась плодотворной для теории электромагнитного поля Максвелла. Обширный класс аналогий используется в современных научных дисциплинах: в архитектуре и теории градостроительства, бионике и кибернетике, фармакологии и медицине, логике и лингвистике и др. Известны также многочисленные примеры ложных аналогий. Таковы аналогии между движениями жидкости и распространением тепла в учении о «теплороде» 17-18 вв., биологические аналогии «социал-дарвинистов» в объяснении общественных процессов и др. Оценка рассуждения по аналогии должна быть конкретно-исторической. Так, многие из них (впоследствии оказавшиеся неверными или ограниченными) имели эвристическое значение в определенный период: напр., аналогия с часовым механизмом в физической картине мира 17 в. способствовала освобождению научной мысли от провиденциализма; аналогия с гидравлической системой помогла современникам У. Гарвея понять его открытие кровообращения и т. д. Эвристическим источником аналогии в науке может стать идея, взятая из вненаучных сфер - обыденного опыта, искусства и т. п. Но в развитой науке, как правило, преобладают аналогии, почерпнутые из опыта самих научных дисциплин. Часто основным «поставщиком» аналогий является «лидирующая» область науки. Так, физика Нового времени породила множество аналогий в гуманитарном и биологическом знании, а в наше время биологические аналогии широко используются в технических науках. Огромная роль математического моделирования обусловливает распространение математических аналогий во всех областях современной науки. В ряде работ по логике и методологии науки (Дж. Снид, В. Штегмюллер) отмечается, что в структуру развитой научной теории включается множество «парадигматических» примеров ее применения (образцы решения задач); появление задач, для которых не находится аналогии, считается аномалией и влечет либо расширение данного множества, либо замену самой теории. Т. о., понятие аналогии входит в методологическую схему эволюции научных теорий. В контексте научного творчества предметом особого анализа является способность к продуцированию и восприятию аналогии. В этом аспекте понятие аналогии приобретает психологические и дидактические характеристики. Изучение этой способности имеет значение для разработки технических устройств «искусственного интеллекта». Аналогия выступает как комплексная проблема теории познания, логики и методологии, истории науки и психологии творчества, педагогики и кибернетики.