Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики - Коллектив авторов - Страница 22

В 1920 году Гильберт направился в беспокойные воды оснований математики и до конца карьеры развивал исключительно эту область. В некоторой степени ученый с удвоенными усилиями возобновил свое исследование оснований математики, хотя на этот раз он был немного более амбициозен, чем 20 лет назад. Он действовал не в одиночку. Его верными оруженосцами стали Пауль Бернайс (1888-1977), один из его ассистентов в Гёттингене, и Вильгельм Аккерман (1896-1962), преподаватель средней школы, его бывший ученик (Гильберт отказался дать ему должность в университете, узнав, что тот намеревается обзавестись семьей, поскольку, по его мнению, это отвлекло бы его от исследовательской деятельности). Важной составляющей этой работы в долгий межвоенный период стали оживленные дискуссии немецкого математика и его ближайших коллег с виднейшими европейскими математиками, которые придерживались противоположных взглядов.

Началом размышлений вокруг предмета математики исторически считается последняя четверть XIX века. Однако любопытство в отношении природы математического знания не ново, ему 2000 лет. Первый кризис оснований произошел в Древней Греции, когда разрушилась пифагорова арифметика. Пифагорейцы полагали, что все числа рациональны, но вскоре выяснилось, что существуют также иррациональные числа (как V2). Открытие этих неизмеримых чисел вызвало раскол в их математике. Рациональные числа не полностью описывали действительность. Континуум действительных чисел (например, прямая) образован не дискретным набором индивидуальных атомов. Работы Евдокса (IV век до н.э.) по обоснованиям примирили сознание с иррациональной бесконечностью и заложили фундамент, на котором была воздвигнута евклидова геометрия.

Работы, связанные со вторым кризисом оснований, уже в XX веке разъясняли, в чем заключаются метод, строгость и истина новой математики — скорее аксиоматичной, чем интуитивной, скорее экзистенциальной, чем конструктивной. Нужно понимать, что не избежал Гильберт и подводных камней. В их числе выделим ряд антагонических понятий математики, которые возникли не из ничего, а уходят корнями в историю развития самой точной из наук. Распространение математического анализа с начала XIX века, наряду с зачатками теории множеств и математической логики, — это путеводная нить дисциплины, которая стала называться философией, или основаниями математики. Но вернемся на некоторое время к истокам.

БОГ — МАТЕМАТИК?

Платонизм — изначальная философия математики. Приверженцами этой позиции среди прочих были Платон, Кантор, Гёдель... Любопытно, что первым платоником был не Платон, а Пифагор, который слепо верил, будто все есть число и математические объекты реально существуют. Как числа, так и треугольники или окружности существуют сами по себе, независимо от их толкования и нашего представления о них. Неоплатоники во главе с Блаженным Августином (IV век) утверждали, что бесконечное количество чисел в действительности существует в божественном разуме. И кому хватило бы глупости утверждать, будто Бог прекращает счет на каком-то числе, каким бы большим оно ни было?

Перенесение термина платонизм из области философии в математику произошло на лекции, которую в 1934 году читал Пауль Бернайс, первый помощник Гильберта. Бернайс хотел дать возбуждающее интерес название способу восприятия современной математики, в которой математические объекты не строятся, а понимаются как заданные. Для Кантора, например, реальность чисел была намного ощутимее реальности чувственного мира, поскольку числа существуют в виде вечных идей божественного интеллекта. Гёдель пошел еще дальше и рассматривал математические множества как объекты настолько же реальные, как и физические тела. Математики-платоники, имя которым легион, не изобретают математические теоремы, а открывают их.

Недостаток платонизма заключается в том, что он перенаселяет небеса. Платонизм хорош, когда необходимо утверждать, будто реально существуют простые математические сущности (треугольник в целом, квадрат в целом или общее количество натуральных чисел). Но он рушится, едва мы оставляем в стороне объекты античной математики и обращаемся к надуманным объектам современной математики — классам, множествам, функциям и сложным абстрактным структурам, которые выходили на первый план в XIX веке.

ЛАБИРИНТ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Греки основали геометрию и подчинили ей арифметику. Но благодаря алгебре постепенно арифметика стала независимой от геометрии, что 2000 лет спустя дало возможность осуществить обратное приведение. Геометрия нашла свое место в алгебре, которая, в свою очередь, располагалась в арифметике, усиленная новым исчислением Ньютона и Лейбница. Но арифметизацию математики, произошедшую между XVII и XVIII веками, требовалось вернуть к греческой строгости и положить конец фокусам исчисления бесконечно малых.

В начале XIX века мрак математического анализа был почти абсолютным. Огюстен-Луи Коши (1789-1857) порвал с традицией бесконечно малых и переосновал анализ на понятиях предела и функции. Понятие функции было уточнено одновременно с развитием теорий дифференцирования и интегрирования. Но «Курс анализа» Коши, который увидел свет в 1821 году, строился на понятии непрерывности. Как вычисление пределов, так и работа с функциями требовали выверенного определения континуума чисел, на основе которого производились операции. Но что же представляет собой континуум? Доказательствам основных теорем анализа требовалось предварительное доказательство непрерывности прямой действительных чисел. Те, кто преподавал анализ, не знали верных доказательств теорем и пытались сделать так, чтобы официальные мистические операции принимались на веру. Это происходило даже с базовой теоремой Больцано, гласящей, что если функция непрерывна на определенном отрезке и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где эта функция равна нулю. Нечто подобное происходило в то время и с геометрией, и именно Гильберт прояснил понятие непрерывности.

В середине XIX века основная проблема состояла в том, чтобы построить действительные числа (континуум) на основе рациональных чисел, поскольку было известно, как построить последние на основе целых, а целые — на основе натуральных. Натуральные, целые, рациональные, действительные... всю математику. В 1872 году были предложены несколько теорий построения действительных чисел. Во-первых, это теория действительных чисел: ее смогли воспроизвести на основе конспектов занятий Вейерштрасса, который идентифицировал каждое действительное число с бесконечной суммой рациональных чисел. Во-вторых, это теория Кантора, аналогичная теории Шарля Мерэ (1835-1911), в которой каждое действительное число — предел последовательности рациональных чисел. И наконец, это теория Дедекинда, в которой действительное число — всего лишь сечение, оно подразумевает разделение всех точек прямой на два класса: расположенные слева и справа от сечения. Для любого сечения на прямой всегда есть действительное число, которое делит прямую на две части. Если Платон утверждал, что бог вечно геометризует, то Дедекинд объявил, что человек вечно арифметизирует. Все числа свелись, по сути, к натуральным. Это настоящий интеллектуальный подвиг. Но что такое натуральные числа?

ЛОГИКА КАК УНИВЕРСАЛЬНЫЙ КЛЮЧ К МАТЕМАТИКЕ

Поскольку арифметика напоминала дерево, которое безустанно растет вверх, в то время как его корни уходят вглубь, возникло первое течение, связанное с основаниями, — логицизм. Познакомимся с ним и с его первым идеологом, Готлобом Фреге (1848-1925). Этот немецкий математик отстаивал идею, что вся математика базируется на натуральных числах. Но как их построить? Ключ был, по его мнению, в области логики.

Всю жизнь Фреге был угрюмым преподавателем в Йенском университете. Учеников у него было так мало, что регулярно его занятия посещали только двое: один философ и один военнослужащий в отставке, который учился для души. Он был неспособен говорить на другие темы, кроме логики и математики, и всегда тактично сводил любой разговор к ним. Результатом этой одержимости была «Концептография», опубликованная с подзаголовком «Подражающий арифметике формальный язык чистого мышления» в 1879 году. Фреге наполнил новым вином старые бурдюки логики, создав «математическую логику».