Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики - Коллектив авторов - Страница 17

       ₄

ds²= Σ g_ijd_xid_xj.

      ^i,J=1

Этот метрический тензор, который определял геометрические свойства (естественно, неевклидовы), характеризовал также гравитационное поле (см. рисунок на предыдущей странице). Однако уравнения гравитационного поля, содержащиеся в статье, не были верны, и вскоре от них отказались. Тогда для Эйнштейна начался долгий и утомительный период, прежде чем к концу ноября 1915 года он начал различать свет истины. Эйнштейн боролся с тензорным исчислением, чтобы получить правильные уравнения. Он внедрялся в область, куда осмелились ступить лишь некоторые математики. Одним из них был наш герой, Давид Гильберт.

С 1909-го и практически до 1920 года Гильберт демонстрировал большую склонность к теоретической физике, применяя к ней методы вариационного исчисления. Итогом этих лет стала книга, написанная в 1924 году в соавторстве с Рихардом Курантом. Учебник «Методы математической физики» в течение десятилетий пользовался огромным успехом. Гильберт направил свое внимание на насущные физические проблемы — атома и теории относительности. Благодаря поддержке Пауля Вольскеля, богатого немецкого промышленника, увлекавшегося математикой, Гильберт периодически организовывал в Гёттингене исключительные лекции и принимал знаменитых академиков из других стран (он шутил, что единственная причина, по которой он все еще не доказал последнюю теорему Ферма, состоит в задаче не получить 100 000 марок, назначенных за доказательство премии, и не сразить одним ударом курицу, несущую золотые яйца). Среди первых гостей были Пуанкаре и Лоренц, прочитавшие лекции по вопросам, связанным с релятивистской механикой. Но, пожалуй, самым нашумевшим событием стал приезд Эйнштейна в начале лета 1915 года. Это была их первая встреча. Эйнштейн читал цикл из шести лекций в Гёттингене и остановился в доме Гильбертов. Проведя несколько дней в его компании, Гильберт загорелся поставить свои математические способности на службу новым идеям гравитации. В течение последующих месяцев они оба лихорадочно работали, часто обмениваясь письмами. Они преследовали одну и ту же цель: найти уравнения общей теории относительности.

В какой-то момент Эйнштейна обеспокоила столь пылкая вовлеченность Гильберта в этот процесс, и когда в конце ноября 1915 года Гильберт предложил в письме Эйнштейну свои уравнения, тот, недавно нашедший итоговые уравнения общей теории относительности, сразу же обозначил собственное первенство. Гильберту оставалось только послать письмо с поздравлением.

УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Пространство-время Минковского четырехмерное. Материя искривляет его так, что объекты перестают двигаться по прямым линиям и начинают двигаться по кривым, по геодезическим, под действием гравитации или некоторого ускорения. Чем больше массы или энергии мы введем, тем больше искривится пространство-время Минковского. Отношение между присутствием массы-энергии и формы четырехмерного пространства-времени задано уравнениями поля Эйнштейна:

G_μν = (8πG)/(c⁴·T_μν).

В левой части уравнения появляется G_μν, то есть тензор кривизны Эйнштейна: он измеряет деформацию пространства и зависит, в свою очередь, от метрического тензора, от g_ij. расстояния. В правой части, кроме числа π, постоянной всемирного тяготения G и скорости света с, появляется тензор энергия-импульс Τ_μν, который воплощает материю. Подводя итог: пространство диктует материи, как она должна двигаться, а материя обозначает для пространства, как оно должно искривляться. Отметим, что в 1917 году Гильберту удалось доказать: евклидова геометрия является настоящей геометрией Вселенной только тогда, когда тензор энергия-импульс точно равен нулю, то есть при отсутствии материи. В любом случае то, что евклидова геометрия была сброшена с пьедестала в глобальном отношении, ни в коем случае не означает, что она не несет локальной пользы в нашем окружении.

Считалось, что Гильберт вывел уравнения теории относительности гравитационного поля раньше, чем Эйнштейн, хотя он никогда не оспаривал его первенство. Гильберт отправил свою статью в печать 20 ноября 1915 года, за пять дней до Эйнштейна. Воспользовавшись своими обширными математическими знаниями, он сформулировал вариационный принцип, из которого выводились уравнения гравитации и электромагнетизма (Эйнштейн, наоборот, ограничился гравитационным взаимодействием.) Он утверждал, что законы физики определяются тем, что некоторый интеграл достигает своего минимума. С другой стороны, некоторая функция, зависящая от римановой метрики, остается инвариантной к произвольным трансформациям координат. С гравитацией и электромагнетизмом он хотел сделать то же самое, что уже было сделано для геометрии: четко установить основания и вывести результаты из минимального числа аксиом или базовых принципов. Аксиоматическая структура, дедуктивный метод и вариационное исчисление — это три основных составляющих вклада Гильберта в физику.

Но если статья Гильберта содержала уравнения общей теории относительности в виде, где была геометризована не только гравитация, но и электромагнетизм, и была отправлена в печать на пять дней раньше, чем статья Эйнштейна, разве не означает это, что честь открытия общей теории относительности принадлежит Гильберту, пусть даже Эйнштейн подготовил ему почву? Ответ на этот вопрос отрицательный по двум причинам. Первая: теория Гильберта не идентична теории Эйнштейна. Формально они равносильны, но различались по физической интерпретации. Для Эйнштейна аксиоматический метод не имел большой пользы в материи; кроме того, в отличие от большинства своих коллег, он не был сторонником идеи, что любая физическая теория должна быть выражена через вариационный принцип. Хотя сегодня имя Эйнштейна ассоциируется у нас с физиком-теоретиком, зацикленным на крайне абстрактных вопросах, следует понимать, что как в годы учебы, так и в период творческого расцвета он всегда был очень близок к экспериментальной реальности. Ему была в большей степени свойственна индукция, чем дедукция.

НАУКА И ВОЙНА

В 1914 году большая часть европейцев в эйфории приветствовала начало Первой мировой войны. Гильберт, наоборот, с первых дней не скрывал, что война кажется ему абсурдной. В августе этого года 93 знаменитых немецких интеллектуала направили манифест «К цивилизованному миру» в ответ на возрастающее возмущение действиями немецкой армии. Под влиянием националистической пропаганды Феликс Клейн подписал это обращение, поддерживающее политику кайзера. Попросили его подписать и Гильберта, но тот отказался, объясняя это тем, что не знает наверняка, являются обвинения в адрес немецких войск ложными или нет. Эта позиция сблизила его с пацифистом Эйнштейном, который тоже отказался подписывать манифест. В разгар войны, в 1917 году, Гильберт опубликовал некролог Жану Гастону Дарбу(1842-1917), выдающемуся французскому математику, в котором превозносил этого ученого. Когда студенты окружили его дом, требуя переписать заметку, Гильберт потребовал у них извинений (и получил их). В результате европейские коллеги увидели в нем человека свободного духом, презирающего традиции и условности. Так что по окончании войны, когда Германия была разгромлена, его репутация сохранилась, и на первом международном конгрессе математиков, состоявшемся в межвоенный период (Болонья, 1928, VIII Международный конгресс математиков), он не колеблясь настаивал на универсальном характере математики, поскольку любые границы — это против природы.

Жан Гастон Дарбу.