Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики - Коллектив авторов - Страница 13

Естественно, весомыми были и обстоятельства времени и места. После смерти старого Кронекера и отставки Вейерштрасса немецкий академический мир начал оживать, академические кафедры закружились в танце, в результате Клейн и Гильберт заняли благоприятное положение и обосновались в Гёттингене. Вскоре стараниями Феликса Клейна, большого ученого и политика, Гёттинген превратился в важнейший математический центр мира, обладающий впечатляющей группой преподавателей, среди которых выделялись Гильберт и Минковский (в штат университета его зачислили в 1902 году), а также многочисленными подающими надежды учениками.

За 35 лет преподавания в Гёттингене было сделано очень многое. Список учеников Гильберта впечатляет: Отто Блюменталь, Макс Ден, Эрхард Шмидт (1876-1959), Рихард Курант, Эрнст Цермело (1871-1953), чемпион мира по шахматам Эмануэль Ласкер (1868-1941) и другие. Среди них выделяется Герман Вейль, он защитил докторскую диссертацию под руководством Гильберта в 1908 году и сменил его в 1930 году, когда тот вышел в отставку. Гильберт всегда держался как наставник, помогающий по мере возможности. Так, например, когда возникло недовольство по поводу назначения преподавателем в университете молодой выдающейся женщины-математика Эмми Нётер (1882-1935), своим самым неуступчивым коллегам Гильберт иронично заявил: «Не думаю, что пол кандидата является аргументом против его назначения. Все-таки это университет, а не общественная баня». Это еще один пример широты его взглядов.

ГЛАВА 3

Аксиоматизация физики

Первые годы нового века Гильберт работал в области вариационного исчисления и интегральных уравнений. Ему удалось придать форму новому ответвлению анализа — функциональному анализу. Кроме того, он сыграл ключевую роль в математической формулировке общей теории относительности и квантовой механики. Гильберт соревновался с Эйнштейном в поиске уравнений, которые связали бы гравитацию с теорией относительности.

Но это не все: так называемое гильбертово пространство стало в итоге математической структурой, распахивающей двери в квантовое пространство.

Одно из недавних открытий в области истории математики касалось безудержного интереса, который Гильберт проявлял к физике своего времени. Дружба с Минковским и знакомство с работами Герца оказались катализаторами его интереса в юные годы, а математическая традиция Гёттингена, без сомнения, сделала все остальное (Гаусс, Риман и Клейн разделяли его любовь к физике). Его научная деятельность совпала с рождением двух физических учений XX века — квантовой теории (1900) и теории относительности (1905), — что усилило его интерес в первые два десятилетия нового века.

С приезда в Гёттинген в 1895 году Гильберт вел множество курсов и семинаров, посвященных математической физике. Неудивительно, что на лекции в Париже в 1900 году, говоря о шестой проблеме, он отметил: исследования в области оснований геометрии подсказывают тот же — аксиоматический — подход к физическим наукам, в которых у математики заметная роль. Механика, оптика, а также термодинамика и теория электричества должны следовать скрупулезной модели, испробованной геометрией. Строгость — не сугубо математическое свойство. Физика может достичь абсолютной строгости по стандартам аксиоматического метода.

В 1905 году, избрав это направление, немецкий математик предложил аксиоматическое изложение механики, описав понятие силы через различные аксиомы векторного пространства. Затем он аксиоматизировал теорию вероятностей — в том виде, в каком она возникла в рамках кинетической теории газов. Ряд выпускников Геттингена, учеников Гильберта, внесли в это существенный вклад. В 1909 году Георг Гамель (1877-1954) аксиоматизировал классическую механику, а Константин Каратеодори (1873-1950) сделал то же для термодинамики. Сам Гильберт совершил гигантский шаг, в 1915 году сформулировав собственные уравнения для общей теории относительности. Наконец, в конце счастливых 1920-х годов в сотрудничестве с Лотаром Нордгеймом (1899-1985) и Джоном фон Нейманом (1903-1957) он попытался включить квантовую механику в аксиоматическую систему.

Однако его интерес к физике не может рассматриваться в отрыве от анализа. Его внимание к анализу сменялось вниманием к физике и обратно, и в первые два десятилетия века это происходило непрерывно. Гильберт сосредоточился на двух областях, довольно близких к анализу, — вариационном исчислении и интегральных уравнениях. Действительно, в 3 из 23 проблем, которые Гильберт представил в Париже, речь шла о вариационном исчислении и, в частности, о развитии теории уравнений в частных производных.

УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Довольно долгое время уравнения (алгебраические) отвечали требованию вычислять неизвестные числа, например корни многочлена. Но в математике нередко возникают качественно другие проблемы: те, в которых неизвестное — это не число, а функция, выражающая отношение между различными переменными (как в случае с движением планет — зависимость пространственных координат от времени). Особый класс здесь — так называемые дифференциальные уравнения, определяющие неизвестную функцию на основе одного или нескольких уравнений, в которых участвуют производные функции.

Основав исчисление (дифференциальное и интегральное), Ньютон сформулировал законы физики в том виде, который связывал между собой физические величины и скорости изменения. То есть пространство, пройденное движущимся телом с его скоростью, и скорость движущегося тела с его ускорением. Итак, законы физики оказались выраженными через дифференциальные уравнения, при этом дифференциалы и производные были мерами скорости изменения. Производная функции показывает, как изменяется значение функции, если она возрастает, убывает или остается постоянной. Ускорение, например, измеряет изменения скорости движущегося тела, вариацию скорости во времени, поскольку частное дифференциалов скорости и времени есть производная скорости относительно времени:

а = dv/dt

Однако решение дифференциальных уравнений, как и алгебраических, не всегда оказывается простым, вернее никогда. Если неизвестная функция зависит от единственной переменной, они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Например, производная от функции синуса у = sin х равна у’ = cos х, где у’ обозначает первую производную. Эта последняя функция может быть дифференцирована, в свою очередь, для получения у" = -sin х> из чего можно вывести дифференциальное уравнение у" = -у. Это — дифференциальное уравнение второго порядка, поскольку появляется вторая производная.

Другой пример дифференциального уравнения второго порядка — второй закон Ньютона: F = m x а («сила равна произведению массы на ускорение»),

а = dv/dt = d²x /dt²,

где ускорение — это первая производная от скорости, но также вторая производная от положения, если x(t) обозначает положение движущегося тела в зависимости от времени.

Обратная ситуация — если неизвестная функция зависит от более чем одной переменной и появляются производные относительно этих переменных: это называется уравнениями в частных производных. Предположим, объем газа V — это функция от его температуры Т и давления на него Р, то есть V(T,Р). Когда Тили Р изменяются, V тоже изменяется. Производная V(T, Р) относительно Т называется частной производной относительно Т и записывается как

∂V(T,Р)/∂T.

Точно так же

∂V(T,Р)/∂P

является частной производной относительно Р. Как и в случае с обыкновенными производными, существуют вторая, третья и так далее частные производные; так, в качестве примера

∂2V(T,Р)/∂P2

представляет собой вторую частную производную относительно Р. Но дифференциальные уравнения, в которых участвуют частные производные, имеют особенные черты, принципиально отличающие их от обыкновенных. В изучении естественных явлений уравнения в частных производных появляются так же часто, как и обыкновенные дифференциальные уравнения, но обычно их намного сложнее решать.