Камень, ножницы, теорема. Фон Нейман. Теория игр - Коллектив авторов - Страница 17

Такое положение вещей кажется логичным, ведь метеорология ближе к физическим наукам, чем экономика, и, следовательно, ее легче математизировать. Не случайно фон Нейман однажды заявил, что экономика в своем развитии отстала на миллион миль от такой науки, как физика.

ТОЧКА ЗРЕНИЯ ФОН НЕЙМАНА

Хотя до 1937 года фон Нейман не опубликовал ни одной работы по экономике, его интерес к этой теме зародился довольно давно, еще во время бесед с отцом за семейными завтраками. Почти с самого начала фон Нейман подумал о том, чтобы отставить инструменты и методы математического анализа, несмотря на хорошие результаты, которые они дали в области ньютоновой механики.

Он полагал, что эти методы переоценены и не могут принести существенную пользу экономической теории. Фон Нейман больше полагался на то, что мы сегодня называем дискретной математикой. Используя методы, очень похожие на те, что были применены в теории игр, и обобщив теорему Брауэра о неподвижной точке, в 1937 году фон Нейман опубликовал работу Über ein ökonomisches Gleichungssystem und eine Verallgemeinerung des Brouwer’schen Fixpunktsatzes («Об экономической системе уравнений и обобщении теоремы Брауэра о неподвижной точке»), в которой доказывал существование математического параметра, представляющего равновесие цен.

Возможно, главная ценность этой статьи заключалась в том, что теория Неймана основывалась на системе аксиом, созданных им независимо от их экономического значения. Его методология была очень похожа на его же подход к аксиоматизации теории множеств или квантовой механики. Речь шла о том, чтобы начать с нуля и четко определить элементы, которые участвовали бы в рассмотрении.

Теория игр была создана в чисто математическом ключе, и фон Нейман хотел придать ей новое значение, заставить ее перешагнуть эти ограничения. Его новой целью стала экономика. Прежде эта наука использовала те же методы, что и классическая механика, а также прибегала к инструментам математического анализа, в частности вариационному исчислению. Применение теории игр, комбинаторики и конверсии означало большие изменения. Необходимо также добавить, что работы фон Неймана знаменовали рождение математики, которую мы называем прикладной. На этом пути у ученого был спутник — не математик и не физик, а экономист.

КАРЛ МЕНГЕР И ИСЧИСЛЕНИЕ МОРАЛИ

Человеческий фактор всегда имел большое значение для создания какой- либо экономической теории — не только из-за вносимой им непредсказуемости, но и потому, что он учитывает элементы морали. В этом смысле интересно, что на Моргенштерна, а затем и на фон Неймана оказали влияние идеи Карла Менгера (1840-1921), прославившегося своей работой «Основания политической экономии».

Менгер, на чью философию сильно повлиял Витгенштейн, представлял моральный кодекс как правила игры, которые поддерживают, упорядочивают и структурируют человеческие взаимоотношения в определенной группе, составляющей общество. Таким образом, будет столько разных моралей, сколько групп будет взято в расчет. Для анализа этих общественных кодексов Менгер предлагал использовать логику и комбинаторику, отбрасывая математический анализ, модный в то время, но дававший ничтожные результаты применительно к экономической теории. Именно в таком подходе Менгер видел большие возможности для улучшения работы с экономической теорией, что и было частично реализовано с появлением теории игр и, главным образом, теоремы о минимаксе, примененной к анализу рыночного равновесия.

Австрийский экономист Карл Менгер был отцом известного во всем мире математика, также Карла Менгера.

ТЕОРИЯ ИГР И ЭКОНОМИКА

В 1934 году в Принстоне фон Нейман познакомился с Оскаром Моргенштерном (1902-1977), немецким экономистом, чье имя уже имело некоторую известность в Венском кружке. Моргенштерн явно предпочитал общаться с математиками, нежели с экономистами, и сразу же заинтересовался подходом фон Неймана. Они оба критически относились к тому, как до этого рассматривалась экономическая теория, и стали работать над текстом, который должен был быть первым в ряду лекций фон Неймана в Принстоне. Однако для начала Моргенштерну требовалось усовершенствовать свои математические знания до уровня, необходимого для этой работы. Фон Нейман посоветовал ему несколько книг. Надо отдать должное таланту и усердию Моргенштерна, ведь достичь необходимого уровня для того, чтобы на равных работать с фон Нейманом, было нелегкой задачей.

Текст, который должен был стать обычным вступлением к серии лекций, является одной из важнейших работ по экономической теории, написанных по сегодняшний день. Он также послужил основой не только для последующего ее развития, но и для только что появившейся теории игр. Книга, написанная фон Нейманом и Моргенштерном, была опубликована в 1944 году под названием Theory of Games and Economic Behavior («Теория игр и экономическое поведение») и считается одной из главных работ венгерского ученого. В ней теория игр предстала как полная, завершенная теория, которая могла стать основой новой ветви математической науки.

Авторы доказали, что любая игра с количеством игроков n и ненулевой суммой может быть сведена к игре с количеством игроков n + 1 и нулевой суммой. То, что в теории игр главным образом рассматриваются игры с двумя игроками и нулевой суммой, объясняется тем, что, во-первых, их проще анализировать, а во-вторых, они в каком-то смысле являются общим случаем для n + 1 числа игроков в игре с нулевой суммой.

Разумеется, сложность анализа возрастает с увеличением числа игроков. Чтобы решить эту проблему, фон Нейман и Моргенштерн использовали матрицы с n измерениями и функции с n переменными. Применение теории игр к поведению экономических агентов произошло естественным путем — их стали рассматривать как субъекты антагонистической игры, чьей целью было получить выигрыш, снизив риски. В таких играх, разумеется, участники могли создавать коалиции.

Главное свойство математики, по моему мнению, — это ее особенная связь с естественными науками, или, обобщая, со всеми науками, интерпретирующими опыт на более высоком уровне, нежели чисто описательный.

Джон фон Нейман

Может показаться парадоксальным, но часто книги, оказавшие наибольшее влияние на развитие определенной науки, читают меньше всего. В этом можно найти некую логику, если вспомнить, что для их чтения необходимо обладать очень глубокими знаниями, следовательно, они могут быть интересны только узкому кругу специалистов. С другой стороны, эти специалисты обычно обладают признанным авторитетом, который может сделать книгу известной и вне сугубо профессионального круга, причем настолько, что она вызовет интерес средств массовой информации и даже станет модной. Нечто подобное произошло с «Теорией игр и экономическим поведением» — книгой, полной формул и тяжелой для чтения, явно адресованной только специалистам. Газета «Нью-Йорк Таймс» посвятила ей длинную статью, в которой объяснялись революционные последствия нового подхода. Вскоре все специалисты (и, как часто бывает в таких случаях, многие, кто таковыми не являлся) заявили, что появление этой книги ознаменовало новую эпоху в развитии экономической теории. И все же за пять лет было продано всего около 4000 экземпляров. Многие покупатели были не математиками и не экономистами, а профессиональными игроками.

ГЁДЕЛЬ И КОНСТИТУЦИЯ

Однажды вечером Оскару Моргенштерну позвонил Курт Гёдель и сказал, что нашел противоречия в Конституции США. При этом на следующий день Гёдель должен был предстать перед судьей Филипом Форманом для заключительной процедуры принятия американского гражданства, которая носила исключительно формальный характер. Разумеется, математик досконально изучил Конституцию и не намерен был молчать об обнаруженных противоречиях. Тогда Моргенштерн решил позвонить Эйнштейну (который тогда был уже очень известен) и попросить его пойти к судье вместе с ними. На следующий день они предстали перед судьей втроем. Как и следовало ожидать, Гёдель завел речь о формулировке пятой статьи, которая ставила под вопрос устойчивость всей системы. К счастью, Моргенштерну и Эйнштейну удалось убедить судью в благих намерениях Гёделя, и тот смог поклясться на Конституции без каких-либо проблем. Ему очень повезло и со спутниками, и с судьей.