Философия логического атомизма - Рассел Бертран Артур Уильям - Страница 15

VII. ТЕОРИЯ ТИПОВ И СИМВОЛИЗМ: КЛАССЫ

Перед тем как приступить сегодня к главной теме своей лекции, я предпочёл бы сделать несколько замечаний в объяснение и рас ширение того, что говорил о существовании в двух предыдущих лекциях. Главным образом это является следствием письма, полу ченного мной от одного из слушателей и поднимающего много вопросов, которые, я думаю, занимают также умы других. Первый пункт, который я хотел бы прояснить, следующий: Я не имел в виду, что, сказав о вещи, что она существует, подразумева ют то же самое, как если говорят, что она возможна. Я имел в ви ду, что одной и той же является фундаментальная логическая идея, примитивная идея, от которой производны обе эти идеи. Последнее не совсем одно и то же с тем, когда говорят, что высказывание о том, что вещь существует, одинаково с высказыванием, что она возможна, я так не считаю. Я использую слово 'возможно' вероят но в несколько необычном смысле, поскольку мне требуется слово для фундаментальной логической идеи, для которой в обычном языке слова не существует, и, следовательно, если в обычном язы ке необходимо попытаться выразить рассматриваемую идею, нуж но взять некоторое слово и сообщить ему смысл, приданный мной слову 'возможно'; последний ни в коей мере не является тем смыс лом, которым оно обладает, но он подходит для моей цели. Мы говорим о пропозициональной функции, что она является возмож ной, когда имеются случаи, при которых она является истинной. Это не в точности то же самое, что обычно подразумевают, когда, например, говорят, что возможно завтра будет дождь. Но я настаиваю, что обычное использование слова 'возможно' посредством обработки производно от этого понятия. Например, обычно, сказаво пропозиции, что она возможна, вы подразумеваете нечто подобное следующему. Прежде всего из этого следует, что вы не знаете является ли она истинной или ложной; и, я думаю, во-вторых, из этого следует, что она относится к тому классу пропозиций, из которых о некоторых известно, что они истинны. Когда, например, я говорю: 'Возможно, завтра будет дождь' - пропозиция 'Завтра будет дождь' относится к классу пропозиций 'Дождь идёт в момент времени /', где / - различные моменты времени. Отчасти мы подразумеваем, что нам не известно, будет дождь, или же нет, но также подразумеваем и то, что знаем, что этот тип пропозиции вполне способен быть истинным, что о значении пропозициональной функции нам известно, что какое-то значение является истинным. Я думаю, вы найдёте, что многие обычные употребления слова 'возможно' проходят под таким руководством. Другими словами, когда вы говорите о пропозиции, что она является возможной, у вас имеется следующее: 'В данной пропозиции есть некоторая констигуенга, которая, если преобразовать её в переменную, даст вам пропозициональную функцию, иногда являющуюся истинной'. Следовательно, вы не должны говорить о пропозиции просто, что она возможна, но скорее, что она является возможной в отношении такой-то и такой-то констнтуенты. Это было бы более полным выражением. Говоря, например: 'Львы существуют', 'я не имею в виду то же самое, как если бы сказал, что львы возможны; поскольку, когда вы говорите: 'Львы существуют', последнее подразумевает, что пропозициональная функция 'х - лев' является возможной в том смысле, что львы есть, тогда как, если вы говорите: 'Львы возможны', последнее вообще является другим типом высказывания, не подразумевающего, что случайное индивидуальное животное может быть львом, но скорее, что вид животного может быть видом, который мы называем 'львы'. Если вы, например, говорите: 'Единороги возможны', то подразумеваете, что вам не известна какая-либо причина, почему бы не быть единорогам, а это пропозиция совершенно отличная от 'Единороги существуют'. Относительно того, что вы подразумеваете, говоря о том, что единороги возможны, последнее всегда можно свести к тому же самому, как и 'Возможно завтра будет дождь'. Вы имели бы в виду, что пропозиция 'Единороги существуют' является одной из определённого множества пропозиций, из которых истинность некоторых известна, и что описание единорога не содержит ничего такого, что показывало бы невозможность существования подобных зверей. Когда я говорю, что пропозициональная функция является возможной, подразумевая существование случаев, в которых она является истинной, я сознательно использую слово 'возможно' в необычном смысле, поскольку мне требуется единственное слово для моей фундаментальной идеи, и я не могу найти какого-то слова в обычном языке, которое выражает то, что я имею в виду. Во-вторых, предполагается, что когда кто-нибудь говорит, что вещь существует, это подразумевает, что она находится во времени, или во времени и пространстве, по крайней мере во времени. Данное предположение является самым общим, но я не думаю, что на самом деле многое можно сказать в пользу такого использования этого слова; во-первых, поскольку не было бы нужды в отдельном слове, если бы это и было всё, что вы подразумевали. Во-вторых, поскольку, наконец, можно вполне стремиться к обсуждению вопроса, есть ли вещи, которые существуют безотносительно ко времени, в том смысле, чем бы ни был этот смысл, в котором о вещи, обычно рассматриваемой как существующая, говорится, что она существует. Ортодоксальная метафизика придерживается того, что то, что действительно является реальным, находится не во времени, что находиться во времени значит быть более или менее нереальным, и что реально существующее вообще не находится во времени. И ортодоксальная теология считает, что Бог не находится во времени. Я не вижу причины, почему бы вам не соорудить своё определение существования таким образом, чтобы предотвратить такое понятие существования. Я склонен думать, что есть вещи, которые не находятся во времени, и должен принести извинения за использование слова 'существование' в таком смысле, когда у вас уже была фраза 'бытие во времени', вполне удовлетворительно выражающее то, что подразумеваете вы. Другое возражение на это определение состоит в том, что последнее по крайней мере не годится для того типа употребления 'существования', который обосновывал моё рассуждение и который является общим с математикой. Когда вы берёте теоремы о существовании, например, говоря: 'Существует чётное простое число', вы имеете в виду не то, что число два находится во времени, но то, что вы способны найти число, о котором сможете сказать: 'Оно является чётным и простым'. Обычно в математике говорят о пропозициях такого типа, как теоремы о существовании, т.е. вы устанавливаете, что существует объект такого-то и такого-то типа; в математике этот объект является конечно логическим объектом, не индивидом, не вещью подобной льву или единорогу, но объектом подобным функции или числу, чему-то такому что явно вообще не имеет свойства бытия во времени, и эта разновидность смысла теорем о существовании релевантна обсуждению значения существования, с которым я имел дело в двух последнихлекциях. Конечно, я придерживаюсь того, что смысл существования можно привести к тому, чтобы охватывать более обычные употребления существования, и фактически дать ключ к тому, что обосновывает эти обычные употребления, как когда говорят, что 'Гомер существовал' или 'Ромул не существовал', или всё, что мы могли бы высказать в этом роде. Я перехожу теперь к третьему предположению о существовании, которое также является обыкновенным, когда об отдельно взятом 'это' вы можете сказать: 'Это существует', в том смысле, что оно не является фантомом, образом или универсалией. Сейчас я думаю, что использование существования затрагивает смешения, от которых исключительно важно освободить разум, действительно достаточно опасные ошибки. Прежде всего, мы должны отделить фантомы и образы от универсалий; они находятся на другом уровне. Фантомы и образы несомненно существуют в том смысле, чем бы он ни был, в котором существуют обычные объекты. Я имею в виду, что если вы закроете глаза и вообразите некоторую визуальную сцену, образы, которые проходят перед вашим разумом в процессе воображения, несомненно существуют. Они суть образы, нечто происходящее, а происходит то, что образы проходят перед нашим разумом, и эти образы представляют собой точно такую же часть мира, как столы, стулья и что-либо ещё. Они являются вполне приличными объектами, и вы только называете их нереальными (если вы так их называете) или трактуете их как несуществующие, поскольку они не обладают обычным типом отношений к другим объектам. Если вы закроете глаза, вообразите визуальную сцену и протянете руку, чтобы прикоснуться к воображаемому, вы не получите тактильного ощущения или, даже неизбежно, тактильного образа. Вы не получите обычной корреляции взгляда и прикосновения. Воображая тяжёлый дубовый стол, вы можете передвинуть его без какого-либо мускульного усилия, чего не случится с дубовым столом, который вы действительно видите. Общие корреляции ваших образов совершенно отличны от корреляций того, что предпочитают называть 'реальными' объектами. Но это не значит сказать, что образы являются нереальными. Это означает только то, что они не являются частью физики. Конечно, я знаю, что подобная вера в физический мир установлена некоторой разновидностью господствующего террора. Вы придерживаетесь того, чтобы неуважительно обходиться с тем, что не подходит физическому миру. Но на самом деле это очень несправедливо в отношении вещей, которые не подходят. Они существуют в той же степени, как и те, что подходят. Физический мир - это некоторый тип правящей аристократии, которой каким-то образом удаётся заставить обращаться с чем-либо другим неуважительно. Подобный тип установки недостоин философа. Мы должны в точности одинаково трактовать вещи, которые не стыкуются с физическим миром, и образы находятся среди них. Я полагаю, имеется в виду, что 'фантомы' отличаются от 'образов', будучи по природе галлюцинациями, предметами, которые не просто воображаются, но которые сопровождают убеждение. И вновь они совершенно реальны; единственно странное в них - это их корреляции. Макбет видит кинжал. Если бы он попытался дотронуться до него, он не получил бы какого-то тактильного ощущения, но из этого не следует, что он не видел кинжал, из этого следует, что он не дотронулся до него. Из этого никоим образом не следует, что визуального ощущения не было. Это означает только то, что тип корреляции между взглядом и прикосновением, которую мы обычно используем, является нормальным, но не универсальным правилом. Претендуя на его универсальность, мы говорим, что вещь является нереальной, когда она ему не соответствует. Вы говорите: 'Любой человек, который является человеком, будет делать то-то и то-то'. Затем, вы находите человека, который не будет поступать так, и говорите, что он не является человеком. Это как раз тот же самый случай, как и с кинжалом, до которого вы не можете дотронуться. В другом месте я объяснял смысл, в котором фантомы являются нереальными'. Когда вы видите реального человека, непосредственный объект, наблюдаемый вами, представляет собой объект целой системы индивидов, все они взаимопринадлежны и в совокупности продуцируют различные 'явления' человека для себя самого и других. С другой стороны, когда вы видите фантом человека, последний является изолированным индивидом, не соответствующим системе, как ей соответствуют индивиды, которые называют явлениями 'реального' человека. Сам по себе фангом является точно такой же частью мира, как и нормальные чувственные данные, но он утрачивает обычную корреляцию и поэтому приводит к ложным выводам и становится обманчивым. Что касается универсалий [universals], когда я говорю об индивиде, что он существует, я определённо не подразумеваю то же самое, как если бы говорил, что он не является универсалией. Высказывание относительно любого индивида, что он не является универсалией, совершенно строго бессмысленно - не ложно, но строго и точно бессмысленно. Вы никогда не сможете поместить См.: Our Knowledge of External World, глава III, а также, раздел XII 'Чувственные данные и физика' в Misticism and Logic. индивид на то место, где должна быть универсалия и наоборот. Если я говорю: 'о есть не Ь\ или если я говорю: 'а есть Ь\ из этого следует, что а и b одного и того же логического типа. Сказав об универсалии, что она существует, я подразумевал бы это в смысле, отличающемся от того, когда говорят, что индивид существует. Вы можете, например, сказать: 'Существуют цвета спектра между синим и жёлтым'. Последнее было бы вполне приличным высказыванием о цветах, взятых как универсалии. Вы просто подразумеваете, что пропозициональная функция 'х - цвет между синим и жёлтым' представляет собой функцию, которая способна быть истинной. Но встречающийся здесь х не является индивидом, он является универсалией. Таким образом, вы приходите к тому, что крайне важное понятие, включающее в себя существование, представляет собой понятие, которое я развивал в позапрошлой лекции, понятие пропозициональной функции, являющейся иногда истинной или, другими словами, являющейся возможной. Различие между тем, что некоторые назвали бы реально существующим и существующим в человеческом воображении или в деятельности моей субъективности, это различие, как мы только что видели, есть всецело различие корреляции. Я имею в виду, будет ошибочной ваша попытка сказать, что всё, что вам является, имеет некоторую более славную форму существования, если оно объединено с теми другими вещами, о которьк я вёл речь, в том смысле, что явление вам Сократа должно быть связано с его явлением другим людям. Вы сказали бы, что он бьш только в вашем воображении, если бы не было тех других корреляций, которые вы обычно ожидаете. Но это не подразумевает, что являющееся вам не есть точно такая же часть мира, как если были бы другие скоррелированные явления. Оно является точно такой же частью реального мира, только ему не достаёт ожидаемых вами корреляций. Последнее приложимо к вопросу об ощущении и воображении. Воображаемые предметы не обладают тем же типом корреляций, как ощущаемые предметы. Если вы хотите подробнее познакомиться с этим вопросом, я обсуждал его в The Monist за январь 1915 года, и если кого-то из вас заинтересует, вы найдёте обсуждение там*. Я перехожу теперь к собственной теме моей лекции, но должен буду рассматривать её довольно поспешно. Необходимо объяснить теорию типов и определение классов. Итак, прежде всего, как я полагаю, большинству из вас известно, что если беспечно обращаться с формальной логикой, вы можете очень легко впасть в противоречия. Многие из них известны в течение долгого времени, некоторые даже со времён греков, но только достаточно недавно было обнаружено, что они имеют отношение к математике, и чтообыкновенный математик, если он не очень осмотрителен, склонен впадать в них, когда приближается к области логики. К несчастью, математические парадоксы более трудно разъяснить, а те, которые разъяснить легко, вызывают удивление просто как загадки или хитрости. Вы можете начать с вопроса, существует или нет наибольшее кардинальное число. Каждый класс предметов, который вы можете выбрать для упоминания, имеет некоторое кардинальное число. Последнее очень легко вытекает из определения кардинального числа как класса подобных классов, и вы склонны предполагать, что класс всех предметов, существующих в мире, имел бы столь много членов, сколько вообще разумно ожидать от класса. Обыкновенный человек предполагал бы, что вы не в состоянии получить класс больший, чем класс всех предметов, существующих в мире. С другой стороны, очень легко доказать, что если вы возьмёте выборки некоторых членов класса, осуществляя зги выборки любым возможным для вас подходящим способом, число различных выборок, которые вы сможете сделать, больше чем изначальное число членов. Это легко видеть на примере с малыми числами. Предположим, у вас есть класс как раз с тремя числами: а, Ь, с. Первая выборка, которую вы можете сделать, - это выборка, не имеющая членов. Следующая выборка: отдельно а, отдельно Ь, отдельно с. Затем, Ьс, са, ab, abc, в общем 8 (т.е. 23) выборок. Вообще говоря, если у вас есть п членов, вы можете получить 2" выборок. Очень легко доказать, что 2" всегда больше чем п, будет ли п конечным или же нет. Так вы находите, что общее число предметов в мире не является столь большим, как число классов, которые можно получить из этих предметов. Я прошу, чтобы вы принимали эти пропозиции как доказанные, поскольку нет времени переходить к доказательствам, но все они имеются в работе Кантора*. Следовательно, вы найдёте, что общее число предметов в мире никоим образом не является самым большим числом. Наоборот, существует иерархия чисел больших, чем данное. На первый взгляд, это, по-видимому, приводит вас к противоречию. Фактически, у вас есть совершенно точное арифметическое доказательство того, что на небесах или на земле имеется предметов меньше, чем грезится нашей философии. Последнее демонстрирует то, как философия делает успехи. Поэтому вы сталкиваетесь с необходимостью провести различие между классами и индивидами. Вы сталкиваетесь с необходимостью говорить, что класс, состоящий из двух индивидов, сам в свою очередь не является новым индивидом, и это должно быть разъяснено всеми способами; т.е. вы будете должны сказать, что втом смысле, в котором существуют индивиды, в этом самом смысле не верно сказать, что существуют классы. Смысл, в котором существуют классы, отличается от смысла, в котором существуют индивиды, потому что, если бы смысл в обоих случаях был одинаковым, мир, в котором есть три индивида и, следовательно, восемь классов, был бы миром, в котором имеется по крайней мере одиннадцать предметов. Как давным-давно указывали китайские философы, серая корова и гнедая лошадь составляют три предмета: предметами являются каждая из них, и, взятые вместе, они представляют собой другой предмет, а следовательно, всего три. Я перехожу теперь к противоречию, относящемуся к классам, которые не являются членами самих себя. В общем то вы сказали бы, что не ждёте от класса, чтобы он был членом самого себя. Например, если вы возьмёте класс всех чайных ложек в мире, сам он не является чайной ложкой. Или, если вы возьмёте всех человеческих существ в мире, их целостный класс в свою очередь не является человеческим существом. Естественно, вы сказали бы, что не можете ожидать от всего класса предметов, чтобы сам он был членом этого класса. Но есть явные исключения. Если вы возьмёте, например, все вещи в мире, которые не являются чайными ложками, и создадите из них класс, этот класс (вы сказали бы) очевидно не будет чайной ложкой. И так со всеми отрицательными классами. И не только с отрицательными классами, ибо, если вы посчитаете на время, что классы являются предметами в том же самом смысле, в котором предметами являются предметы, вы тогда должны будете сказать, что класс, состоящий из всех предметов в мире, сам является предметом мира, а стало быть, этот класс является членом самого себя. Конечно, вы подумали бы, ясно, что класс, состоящий из всех классов в мире, сам является классом. Я думаю, большинство людей должны чувствовать склонность к такому предположению, и, следовательно, вы здесь получили бы случай класса, являющегося членом самого себя. Если есть какой-то смысл в том, чтобы спросить, является ли класс членом самого себя или же нет, тогда конечно во всех случаях обычных классов повседневной жизни вы найдёте, что класс не является членом самого себя. Соответственно этому вы можете перейти к образованию класса всех тех классов, которые не являются членами самих себя, и, сделав это, вы можете спросить себя, является ли данный класс членом самого себя или же нет? Предположим прежде, что он является членом самого себя. В этом случае, он представляет собой один из тех классов, которые не являются членами самих себя, т.е., он не является членом самого себя. Предположим затем, что он не является членом самогосебя. В этом случае он не представляет собой один из тех классов, которые не являются членами самих себя, т.е. он есть один из классов, которые являются членами самих себя, т.е. он является членом самого себя. Следовательно, любая гипотеза, что он является или что он не является членом самого себя, приводит к его противоречивости. Если он является членом самого себя, то он не является членом самого себя, а если он не является членом самого себя, то он является членом самого себя. Это противоречие в высшей степени интересно. Вы можете модифицировать его форму; некоторые формы модификации обоснованы, а некоторые нет. Однажды я предложил форму, которая не была обоснованна, а именно, вопрос о том, должен ли брадобрей бриться сам, или же нет. Вы можете определить брадобрея как того, 'кто бреет всех тех, и только тех, кто не бреется сам'. Вопрос в том, бреется ли сам брадобрей? В этой форме противоречие не слишком трудно разрешить. Но в нашей предыдущей форме, я думаю ясно, вы сможете обойти его, только заметив, что в целом вопрос, является ли класс членом самого себя или же нет, является бессмысленным, т.е., что не класс является или не является членом самого себя, и что даже не правильно говорить подобное, поскольку в целом эта словесная конструкция есть только набор звуков, не имеющий значения. Последнее имеет отношение к тому факту, что классы, как я собираюсь показать, являются неполными символами в том же самом смысле, в котором неполными символами являются дескрипции, о чём я вёл речь прошлый раз; вы высказываете вздор, когда спрашиваете себя, является или нет класс членом самого себя, поскольку в любом полном высказывании того, что подразумевается пропозицией, которая выглядит как пропозиция о классах, в этом высказывании вы вообще не найдёте никакого упоминания о классе. Если высказывание о классах должно быть значимым, а не чистым вздором, абсолютно необходимо, чтобы его можно было перевести в форму, которая вообще не упоминает классов. Такой тип высказываний, как 'Такой-то и такой-то класс является или не является членом самого себя', не способно к переводу такого рода. Последнее аналогично тому, что я говорил о дескрипциях: символ для класса является неполным символом; на самом деле он не обозначает частей пропозиции, в которых встречается в качестве символа, но при правильном анализе этих пропозиций, данный символ распадается и исчезает. Есть ещё одно из противоречий, самое древнее, которое я также могу упомянуть, высказывание Эпименида, что 'Все критяне лжецы'. Эпименид - это человек, который безостановочно проспал шестьдесят лет, и, я верю, очнувшись от дремоты, он сделал замечание, что все критяне были лжецами. Противоречию может быть придана более простая форма; если человек высказывает утверждение: 'Я лгу', лжёт ли он, или же нет? Если он лжёт, что и есть как раз то, что он говорит, то он высказывает истину, а не лжёт. Если, с другой стороны, он не лжёт, тогда, очевидно, он говорит истину, утверждая, что он лжёт, а, стало быть, он лжёт, поскольку он правильно говорит о том, что делает. Это древняя загадка, и никто не рассматривал её кроме как шутку до тех пор, пока не было обнаружено, что она должна иметь отношение к таким важным и практическим проблемам, как существует ли наибольшее кардинальное или ординальное число. Тогда, наконец, с этими противоречиями стали обращаться серьёзно. Человек, который говорит: 'Я лгу', на самом деле утверждает: 'Существует пропозиция, которую я утверждаю и которая является ложной'. Это предположительно то, что вы подразумеваете под ложью. Для того чтобы получить противоречие, вы должны взять всё его данное утверждение как одну из пропозиций, к которым применимо его утверждение; т.е. когда он говорит: 'Существует пропозиция, которую я утверждаю и которая является ложной', слово 'пропозиция' должно интерпретироваться как включённое в пропозиции его утверждения в том смысле, что он утверждает ложную пропозицию. Поэтому вы должны предполагать, что у вас имеется определённая общность, а именно, общность пропозиций, но эта общность содержит члены, которые могут быть определены только в терминах самих себя. Потому что когда вы говорите: 'Существует пропозиция, которую я утверждаю и которая является истинной', последнее представляет собой высказывание, чьё значение может быть получено только посредством ссылки на общность пропозиций. Вы не говорите, какая среди всех пропозиций, имеющих место в мире, есть та, которую вы утверждаете и которая является ложной. Следовательно, предполагается, что общность пропозиций простирается перед вами, и что какая-то одна, хотя вы и не говорите какая, утверждается ложно. Совершенно ясно, что вы впадаете в порочный круг, если прежде предполагаете, что эта общность пропозиций простирается перед вами, так что вы можете, не выбирая какой-либо определённой пропозиции, сказать: 'Какая-то пропозиция из этой общности утверждается ложно'; само это утверждение является одним из общности, из которой вы выбираете. Данная ситуация в точности та, которая у вас есть в парадоксе лжеца. Прежде всего вами предполагается заданным множество пропозиций, и вы утверждаете, что некоторая из них утверждается ложно, затем само это утверждение преобразуется в одну из пропозиций данного множества, так что, очевидно, ошибочно предполагать,что это множество уже здесь в своей полноте. Если вы собираетесь что-то говорить обо 'всех пропозициях', вы должны, прежде всего, определить пропозиции каким-то таким способом, чтобы исключить те из них, которые указывают на все пропозиции уже определённого типа. Из этого следует, что слово 'пропозиция' в том смысле, в котором мы обычно пытаемся его использовать, является бессмысленным, и что мы можем разделить пропозиции на множества и можем высказывать утверждения о всех пропозициях в данном множестве, но такие пропозиции сами не будут членами этого множества. Например, я могу сказать: 'Все атомарные пропозиции являются либо истинными, либо ложными', но само последнее не будет атомарной пропозицией. Если вы без ограничений попытаетесь сказать: 'Все пропозиции являются либо истинными, либо ложными', вы утверждаете вздор, потому что, если бы это не было вздором, оно само должно было бы быть пропозицией и одной из тех пропозиций, которые включаются в свой собственный объём, а следовательно, закон исключенного третьего, как он провозглашён только что, является бессмысленным набором звуков. Вы должны расчленить пропозиции на различные типы, и можете начать с атомарных пропозиций или, если вам нравится, можете начать с тех пропозиций, которые вообще не указывают на множество пропозиций. Затем следующими вы возьмёте те, которые указывают на множества пропозиций той разновидности, которые вы брали первыми. Те, что указывают на множества пропозиций первого типа, вы можете назвать вторым типом, и т.д. Если вы примените это к человеку, который говорит: 'Я лгу', вы найдёте, что противоречие исчезло, поскольку он должен будет сказать, каким типом лжеца он является. Если он говорит: 'Я утверждаю ложную пропозицию первого типа', фактически это высказывание, поскольку оно указывает на общность пропозиций первого типа, относится ко второму типу. Следовательно, не верным будет то, что он утверждает ложную пропозицию, и он остаётся лжецом. Сходным образом, если бы он говорил, что утверждал ложную пропозицию 30,000-ного типа, последнее было бы утверждением 30,001-го типа, поэтому, он всё ещё оставался бы лжецом. И контраргумент, доказывающий, что он к тому же не был лжецом, разрушается. Вы можете сформулировать, что общность любой разновидности не может быть членом самой себя. Последнее применимо к тому, что мы говорим о классах. Например, общность классов в мире не может быть классом в том же самом смысле, в котором последние являются классами. Так мы должны различать иерархию классов. Мы будем начинать с классов, которые всецело составлены из индивидов: это будет первым типом классов. Затем мы перейдём к классам, членами которых являются классы первого типа: это будет второй тип. Затем, мы перейдём к классам, членами которьк являются классы второго типа: это будет третий тип^ и т.д. Для класса одного типа никогда невозможно быть или не быть тождественным с классом другого типа. Это применимо к вопросу, который я обсуждал немного ранее, относительно того, как много предметов существует в мире. Предположим, в мире имеется три индивида. Тогда, как я объяснял, существует 8 классов индивидов. Классов классов индивидов будет 28 (т.е. 256), а классов классов классов индивидов 225 , и т.д. Вы не получите какого-то вырастающего отсюда противоречия, когда задаёте себе вопрос: 'Существует или нет наибольшее кардинальное число?', ответ всецело зависит от того, ограничиваетесь ли вы одним типом, или же нет. В рамках любого заданного типа наибольшее кардинальное число существует, а именно, число объектов данного типа, но вы всегда способны ПОЛУЧИТЬ большее число, переходя к следующему типу. Следовательно, нет столь большого числа, но вы можете ПОЛУЧИТЬ большее число подходящего высокого типа. Здесь у вас есть две стороны этого спора: одна, когда тип задан, и другая, когда тип не задан. Ради краткости я говорил так, как если бы все эти различные типы предметов существовали реально. Конечно, это чепуха. Существуют индивиды, но при переходе к классам, классам классов и классам классов классов говорят о логических фикциях. Когда я говорю, что таких предметов нет, это снова некорректно. Бессмысленно сказать: 'Существуют такие предметы', в том же самом смысле слова 'существуют', в котором вы можете сказать: 'Существуют индивиды'. Если я говорю: 'Существуют индивиды' и 'Существуют классы', два выражения 'существуют' в этих двух пропозициях должны будут иметь различные значения, и если они имеют подходящие различные значения, обе пропозиции могут быть истинными. Если, с другой стороны, слово 'существует' используется в обеих пропозициях в одинаковом смысле, тогда по крайней мере одно из этих высказываний должно быть вздором, не ложью, но вздором. Тогда возникает вопрос, что же представляет собой тот смысл, в котором можно сказать: 'Существуют классы', или , другими словами, что же вы подразумеваете высказыванием, в которое, как кажется, входят классы? Прежде всего, что предпочли бы вы сказать о классах? Как раз то же самое, что требуется вам для того, чтобы говорить о пропозициональных функциях. Вы хотите сказать о пропозициональной функции, что она иногда является истинной. Это то же самое, как если о классе говорят, что онимеет члены. Вы хотите сказать, что это истинно в точности для 100 значений переменных. Последнее одинаково с тем, когда о классе, говорят, что он имеет сто членов. Всё то, что вы хотите сказать о классах, одинаково с тем, что вы хотите сказать о пропозициональных функциям исключая случайные и неуместные лингвистические формы, однако с определёнными оговорками, которые теперь должны быть объяснены. Возьмём, например, две пропозициональные функции, такие как 'х - человек', 'х - беспёрое, двуногое'. Обе они формально эквивалентны, т.е. когда одна из них является истинной, таковой является и другая, и наоборот. Кое-что из того, что вы можете сказать о пропозициональной функции, не будет необходимо оставаться истинным, если вы на её место подставите другую формально эквивалентную пропозициональную функцию. Например, пропозициональная функция 'у - человек' одна из тех, что должны иметь дело с понятием человечество. Последнее не верно для 'х -беспёрое, двуногое'. Или, если вы говорите: 'Тот-то и -тот-то утверждает, что такой-то и такой-то является человеком', сюда входит пропозициональная функция 'х - человек', но 'х - беспёрое, двуногое' - нет. Есть много такого, что вы можете сказать о пропозициональной функции, которая не была бы истинной, если бы вы подставили другую формально эквивалентную пропозициональную функцию. С другой стороны, любое высказывание о пропозициональной функции, которая остаётся истинной или остаётся ложной, в зависимости от обстоятельств, когда вы подставляете вместо неё другую формально эквивалентную пропозициональную функцию, может рассматриваться как относящаяся к классу, который ассоциируется с пропозициональной функцией. Я хочу, чтобы вы брали слова может рассматриваться в строгом смысле. Я использую их вместо является, поскольку является было бы неверным. 'Экстенсиональные' высказывания о функциях суть те, что остаются истинными, когда вы подставляете любую другую формально эквивалентную функцию, и они суть те, что могут рассматриваться как относящиеся к классам. Если у вас имеется любое высказывание о функции, которое не является экстенсиональным, вы всегда можете образовать из него нечто подобное высказыванию, которое является экстенсиональным, а именно, существует функция, формально эквивалентная рассматриваемой, относительно которой рассматриваемое высказывание является истинным. Это высказывание, искусственно образованное из того, с которого вы начинали, будет экстенсиональным. Оно всегда будет одинаково истинным или одинаково ложным для любых двух формально эквивалентных функций, и это производное экстенсиональное высказывание можег рассматриваться как соответствующее высказывание о связанном с ним классе. Так, когда я говорю, что 'Класс людей имеет такое-то количество членов', это означает: 'Существует такое-то количество людей в мире', последнее будет производно от высказывания, что 'х - человек' удовлетворяется таким-то количеством значений х, и для того, чтобы получить его в экстенсиональной форме, его полагают таким способом, что 'Существует функция формально эквивалентная функции "х - человек", которая является истинной для такого-то количества значений' х'. Последнее я бы определил как то, что имею в виду, говоря: 'Класс людей имеет такое-то количество членов'. Этим способом вы находите, что все формальные свойства, которые вам хотелось бы видеть у классов, все их формальные употребления в математике, могут быть получены без предположения, так сказать, что пропозиция, в которую символически входит класс, действительно содержит конституенту, соответствующую этому символу, и будучи правильно проанализированным, этот символ исчезнет тем же самым способом, как исчезают дескрипции, когда правильно проанализированы пропозиции, в которые они входят. При более обычном взгляде на классы имеются определённые трудности вдобавок к уже упомянутым нами, и которые разрешаются нашей теорией. Одна из них связана с нулевым классом, т.е. с классом, не имеющим членов, который трудно рассматривать на чисто экстенсиональной основе. Другая связана с единичным классом. С обычной точки зрения на классы, вы сказали бы, что класс, который имеет только один член, совпадал бы с самим этим членом. Последнее привело бы вас к страшным затруднениям, поскольку в данном случае этот один член является членом данного класса, а именно, самого себя. Возьмём, например, класс 'слушателей лекции в Гордон Сквер'. Очевидно, это класс классов и вероятно, это класс, имеющий только один член, и сам этот один член (до сих пор) содержит более одного члена. Стало быть, если бы вы должны были отождествить класс слушателей лекции в Гордон Сквер с единственным слушателем, имеющимся в Гордон Сквер, вам нужно было бы говорить как о том, что он имеет один член, так и о том, что он имеет двадцать членов, и вы впали бы в противоречие, поскольку этот слушатель имеет более одного члена, но класс слушателей в Гордон Сквер имеет только один член. Вообще говоря, если у вас имеется любое собрание многих объектов, образующих класс, вы в состоянии сформировать класс, у которого данный класс будет единственным членом, и класс, у которого данный класс является единственным членом, будет иметь только один член, хотя этот единственный член и будет содержать многочленов. Это одна из причин, почему вы должны отличать единичный класс от его единственного члена. Другая заключается в том, что если вы так не сделаете, то обнаружите, что класс является членом самого себя, а это вызывает возражение, как мы видели в данной лекции ранее. Я включил тонкости, связанные с тем фактом, что две формально эквивалентные функции могут быть различных типов. О способах трактовки этого вопроса смотрите Principia Mathematica, стр.20 и введение, раздел Ш. Я вовсе не сказал всего, что должен был сказать на этот счёт. Я намеревался углубиться в теорию типов немного далее. Теория типов на самом деле является теорией символов, а